과제유형: A형
과제명
1. 고대 그리스 수학에서 유클리드와 아르키메데스의 수학사적 의의를 서술하시오 (7.5점).
2. 일반적인 5차 이상의 방정식의 해를 구하는 것에 대하여 논하여라 (7.5점).
3. "소수는 무한히 많다."는 것을 3가지 다른 방법으로 증명하여라 (7.5점).
4. 가 무리수임을 보이시오 (7.5점).
| 수학의 이해 2015년 2학기 과제물1-1 (0) | 2019.10.19 |
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| 디지탈 논리회로 강의자료 (0) | 2012.03.11 |
| 이산수학 강의자료 (0) | 2012.03.11 |
과제유형: A형
과제명
1. 고대 그리스 수학에서 유클리드와 아르키메데스의 수학사적 의의를 서술하시오 (7.5점).
2. 일반적인 5차 이상의 방정식의 해를 구하는 것에 대하여 논하여라 (7.5점).
3. "소수는 무한히 많다."는 것을 3가지 다른 방법으로 증명하여라 (7.5점).
4. 가 무리수임을 보이시오 (7.5점).
1. 고대 그리스 수학에서 유클리드와 아르키메데스의 수학사적 의의를 서술하시오
1) 유클리드(Euclid)의 수학사적 의의
원론(Element)의 저자로 수학의 이론적 토대를 만들었으며 오늘날까지 역사상 가장 위대한 수학 교과서이다.
<원론>은 그 지역에 두루 있었던 수학이론들을 체계적으로 정리하였고, 철저하게 플라톤식 원리에 맞게 구성하였다는 데 있다. 전부 13권으로 이루어 졌으며 후세에 2권이 더 추가 되었다. 가정과 정의를 세우고 공리시스템을 도입하였다. 그리고 기하학의 기본이 되는 다섯 개의 공리를 세웠다.
기하학의 5공리를 살펴보면
1공리: 한 점은 다른 점들과 직선으로 이을 수 있다.
2공리: 모든 선은 무한히 늘릴 수 있다.
3공리: 임의의 반지름과 중심을 가진 원을 그릴 수 있다.
4공리: 모든 직각은 서로 같다.
5공리: 두 개의 직선을 자르는 한 직선이 있을 때 같은 평면 위에 생기는 두각의 합이 두 직각의 합보다 작으면 이 두 직선을 무한히 늘렸을 때 두 각이 놓여 있는 평면 위의 한 점에서 만난다.(나중에 “평행선의 공리”라고 불림)
기하학의 제 5공리의 필요성 논쟁이 18세기까지 이어졌고 이로 인한 19세기에 비유클리드 기하학의 탄생이 된다.
유클리드는 <원론>에서 복잡하거나 직관적으로 결코 명백하지 않은 방대한 내용의 명제를 명쾌하게 증명하였다. 또 그때까지 근거와 체계가 갖추어지지 않고 난립해 있던 기하학의 여러 가지 내용들을 몇 개의 공준과 공리를 사용하여 연역적 추론으로 많은 명제를 증명하였으며, 이들을 일복요연하게 정리하였다.
이와 같은 이유로 <원론>은 공준적 방법이 기하학에 최초로 적용된 역사적으로 기하학적 사고에 전환점을 가져온 매우 중요한 저서이다. 그래서 수학자들은 <원론>을 “수학자의 성서”라고 부른다.
2) 아르키메데스(Archimedes)의 수학사적 의의
아르키메데스는 실험 통계적 방법을 중시하였고 현대 적분학의 시조로 현대 공학의 아버지라고도 하며 뉴튼, 가우스와 더불어 세계 3대 수학자이기도 하다.
아르키메데스는 다른 기하학자들과는 달리 기하학의 문제를 푸는 데도 역시 지렛대의 원리를 사용하였다. 즉 동질의 구와 원기둥을 만들고 이것을 저울에 달아 후자는 전자의 1.5배의 무게가 있음을 미리 알아두고, 그 다음 이것을 귀류법을 써 기하학적으로 증명하는 방법을 썼다. 같은 방법에 의한 다른 정리의 발견, 예컨대 포물선에 둘러싸인 넓이는 그와 동일한 밑변과 동일한 높이의 내접삼각형의 4/3배라는 것 등에도 사용되었다. 그는 기하학을 기술과 연결 지은 학자로서 더 나아가 원주율이라든가, 우주의 크기를 나타내는 기수법 등, 수학을 널리 실제문제 해결에 연결 지음으로써 한층 더 그리스 수학을 진전시킨 학자였다.
적분학의 전신인 '구적법'을 연구하여 포물선의 넓이와 부피를 구하는 것과, 공과 그 외접하는 원기둥과의 관계를 밝힘으로써, '원기둥의 부피는 그것에 내접하는 공의 부피의 1.5배이다' 라는 것을 알아냈다. 그는 수학 상의 업적으로서 이 밖에도 외접과 내접과의 96각형에서 계산한 '아르키메데스의 원주율'이 있다. 오늘날에 원주율의 값을 3.14로 계산한 것은 바로 이 계산법에 의한 것이다.
2. 일반적인 5차 이상의 방정식의 해를 구하는 것에 대하여 논 하여라.
일반적인 5차 이상의 방정식에 대해서도 그 근은 방정식의 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근을 유한 번 결합한 식으로 나타내는 공식이 존재할 것인가, 하는 것은 방정식 론의 오랜 숙제로 이 문제의 해결에 앞서 “방정식이 근을 가질 것 인가”하는 문제가 제기되는데 가우스(Gauss)가 1799년의 박사학위 논문에서 대수학의 기본 정리를 발표하여 이를 해결하였다.
[정리 4.1(대수학의 기본 정리)]
계수가 복소수인 n차 대수방정식
은 복소수의 범위 안에서 반드시 근을 가진다.
이 정리와 인수 정리를 쓰면
[정리 4.2] 차 대수방정식은 개의 복소수 근을 가진다.
[정리 4.3] 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다.
여기서 ‘체’라 함은 사칙연산에 관하여 닫혀 있는 수의 집합을 뜻하는 것이다. 이것이 단서가 되어서 아벨(Abel)은 1824년에 5차 방정식의 경우, 1826년에는 5차 이상의 방정식에 대한 다음의 정리를 얻었다.
[정리 4.4] 일반적인 5차 이상의 대수방정식을 대수적으로 푸는 것, 즉 그 근을 계수들에 가감승제와 거듭제곱근이라는 대수적 연산만을 유한 번 시행함으로써 얻는 것은 불가능하다. 이것은 근이 없다는 뜻이 아니며, 근은 있고, 근의 공식을 5차 이상의 방정식에 대하여는 위와 같은 방법으로 나타낼 수는 없다는 것이다.
아벨의 업적에 이어, 다시 방정식론에 근본적인 개혁을 일으킨 사람은 갈루아(Galois)이다. 갈루아 이론은 5차 이상의 대수 방정식이 대수적으로 풀리기 위한 필요충분조건을 제시한 것으로서, 그 요점은 ‘부분군과 확대체(복소수)의 대응에 관한 기본 정리’로 알려져 있다. 이렇게 하여 방정식론과 체론의 문제를 군론의 문제로 전환할 수 있다는 것이다.
“[정리 4.4]”와 같이 집합
가 사칙연관에 관하여 닫혀 있음을 안다. 수의 집합이 사칙에 관하여 닫혀 있을 때, 이것을 체(體, field)라고 부른다.
이제 유리수를 계수로 가지는 n차 대수방정식
이 기약방정식일 때(즉, 좌변이 유리수의 범위에서 인수분해되지 않을 때), 그 한근을 ω라 하면, 집합
는 하나의 체가 된다.
이제 방정식(4.8)의 근들을 모두 포함하는 체 중에서 갈루아체라 불리는 특별한 성질을 가지는 것이 있다. 방정식(4.8)의 개의 근을 
그 체를 Ω라 할 때, 대응함수 
인 것으로 정하면, 은 이 체 Ω에서의 변환군(근들 사이의 치환군)이 된다.
이와 같이 하여, 방정식의 근에 군이 관련되는데, 이 군이 어떤 성질을 가지고 있는가하는 것이 문제가 된다. n≤4일 때는 이 군이 가환군(abelian group)이 되고, n≥5일 때는 그 같은 성질이 일반적으로 없기 때문에 근의 공식을 만들 수가 없는 것이다.
5차 이상의 방정식을 대수적으로 풀려고 하는 노력은 많은 수학자들에 의해 시도되었으나 결국 풀지 못했고 19세기에 접어들어 아벨과 갈루아에 의해서 5차 이상의 방정식의 일반해법은 존재하지 않는다는 사실이 증명되었지만 근을 구할 수 있는 특수한 형태의 고차 방정식이 존재한다. 방정식의 근의 존재성을 기반으로 해법이 가능한 고차 방정식인 인수분해를 이용한 방정식 풀이, 상반 방정식, 이항 방정식의 경우로 근을 구하는 방법이 있다.
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